Chapitre 9 — Nombres premiers et curiosités mathématiques
Objectif du chapitre
Explorer les formes particulières et les mystères fascinants des nombres premiers :
nombres jumeaux, palindromiques, circulaires, de Sophie Germain, de Wilson, et bien d’autres encore.
Ce chapitre montre que, même dans l’ordre abstrait des mathématiques, la beauté et la fantaisie ne manquent jamais.
1. Les nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers sont dits jumeaux lorsqu’ils diffèrent de 2 :
$$
(p,, p + 2)
$$
Exemples :
$$
(3,5),\ (5,7),\ (11,13),\ (17,19),\ (29,31),\ (41,43)
$$
La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu’il existe une infinité de telles paires.
Malgré des siècles de recherche, cette conjecture n’a jamais été démontrée.
En 2013, le mathématicien Yitang Zhang a prouvé qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers distants d’au plus 70 millions, un résultat affiné depuis à 246 par le projet Polymath.
« Les jumeaux premiers sont comme des étoiles proches : rares, mais jamais absentes du ciel numérique. »
2. Les nombres premiers de Sophie Germain
Un nombre premier (p) est appelé nombre premier de Sophie Germain si (2p + 1) est également premier :
$$
p \text{ premier } \quad \text{et} \quad 2p + 1 \text{ premier.}
$$
Exemples :
$$
2!\rightarrow!5,\quad 3!\rightarrow!7,\quad 5!\rightarrow!11,\quad 11!\rightarrow!23
$$
Ces nombres portent le nom de la mathématicienne Sophie Germain (1776 – 1831), pionnière qui travailla sur la théorie de Fermat et fut l’une des premières femmes à s’imposer dans le monde des mathématiques.
« Elle a ouvert les portes d’un monde que l’on croyait réservé aux hommes. »
3. Les nombres premiers palindromiques
Un nombre premier est palindromique s’il se lit de la même façon dans les deux sens.
Exemples :
$$
131,\ 151,\ 727,\ 757,\ 929,\ 10301
$$
Ces nombres associent la symétrie à la primalité, deux formes de perfection mathématique.
💡 Anecdote : le plus grand nombre premier palindromique connu contient des milliers de chiffres et a été découvert grâce à des programmes de calcul collaboratif.
4. Les nombres premiers circulaires
Un nombre premier est dit circulaire si toutes ses rotations de chiffres sont également premières.
Exemple :
$$
197 \rightarrow 971 \rightarrow 719
$$
Les trois nombres sont premiers ✅
Autres exemples :
$$
113,\ 131,\ 199,\ 337
$$
Il existe 13 nombres premiers circulaires à deux chiffres et 22 à trois chiffres.
Ces nombres fascinants relient la géométrie des chiffres à la structure arithmétique.
5. Les nombres premiers de Wilson
Un nombre premier (p) satisfait la formule de Wilson suivante :
$$
(p – 1)! + 1 \text{ est divisible par } p
$$
ou de manière équivalente :
$$
(p – 1)! \equiv -1 \pmod{p}
$$
💡 Exemple :
$$
p = 5 \quad \Rightarrow \quad 4! + 1 = 25 \quad \text{et} \quad 25 \text{ est divisible par } 5
$$
Cette relation élégante et exacte, démontrée au XVIIIᵉ siècle, demeure l’une des plus belles propriétés purement arithmétiques des nombres premiers.
6. Les nombres premiers de Mersenne et de Fermat (rappel)
Deux grandes familles de nombres premiers particuliers :
🔹 Nombres de Mersenne :
$$
M_n = 2^n – 1
$$
🔹 Nombres de Fermat :
$$
F_n = 2^{2^n} + 1
$$
Ces formes ont guidé des siècles de recherche, de la Renaissance jusqu’aux superordinateurs modernes, illustrant comment une formule simple peut cacher des propriétés infiniment complexes.
7. Les grandes conjectures ouvertes
Les nombres premiers sont une source inépuisable de mystères.
Voici quelques grandes conjectures non résolues :
🔹 Conjecture de Goldbach
Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.
$$
n = p_1 + p_2
$$
Exemples :
$$
10 = 3 + 7,\quad 28 = 11 + 17
$$
🔹 Conjecture de Bunyakovsky
Tout polynôme à coefficients entiers, irréductible, positif et sans facteur commun, prend une infinité de valeurs premières.
🔹 Hypothèse de Riemann (rappel)
Tous les zéros non triviaux de (\zeta(s)) ont pour partie réelle (\tfrac{1}{2}).
Ces conjectures relient arithmétique, analyse et probabilités, prouvant que la recherche sur les nombres premiers est loin d’être terminée.
8. Les nombres premiers dans la nature et l’art
Les nombres premiers ne vivent pas seulement dans les équations :
on les retrouve dans la structure des fleurs, la distribution des spirales, les ondes sonores et même la musique.
- Les cycles des cigales périodiques (13 et 17 ans) sont des nombres premiers : un mécanisme naturel d’évitement des prédateurs.
- En musique, certaines gammes et structures rythmiques utilisent des intervalles premiers pour créer des motifs non répétitifs.
- En art numérique, les suites de nombres premiers servent à générer des formes fractales uniques.
« Les nombres premiers sont le battement secret du monde vivant. »
Pages liées
- Sophie Germain — La pionnière de la théorie de la primalité
- Wilson — Le théorème élégant des factorielles
- Goldbach — La somme mystérieuse des nombres premiers
- Zhang — Le découvreur des jumeaux à distance finie
- Polymath — La recherche collective autour des conjectures
Transition vers le Chapitre 10
Les nombres premiers ne cessent d’évoluer avec la science moderne.
Au XXIᵉ siècle, de nouvelles technologies — intelligence artificielle, calcul quantique, réseaux collaboratifs — explorent leur répartition et cherchent des schémas encore invisibles.
→ Chapitre 10 : Nombres premiers et recherche contemporaine