Chapitre 5
Comprendre comment Riemann a relié les nombres premiers à l’analyse complexe à travers la fonction zêta
— et pourquoi son hypothèse reste l’un des plus grands mystères des mathématiques.
🎯 Objectif du chapitre
Entrer au cœur de la théorie moderne des nombres premiers. En 1859, Bernhard Riemann publie une note
qui transforme la compréhension de la répartition des nombres premiers en l’attachant au comportement d’une
fonction complexe : la fonction zêta.
👨🏫 Bernhard Riemann (1826–1866)
Riemann, mathématicien discret et visionnaire, rédige en 1859 sa note célèbre :
Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (“Sur le nombre de nombres premiers
inférieurs à une grandeur donnée”). En quelques pages, il propose une idée qui marquera tout le champ :
analyser les nombres premiers via une fonction complexe prolongée au-delà de son domaine initial.
🔢 La fonction ζ de Riemann
Riemann reprend la série introduite par Euler pour \( \Re(s) > 1 \) :
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}
\]
Il réalise ensuite un prolongement analytique de cette fonction à tout le plan complexe
(sauf en \( s = 1 \)), ce qui permet d’étudier \( \zeta(s) \) bien au-delà de son domaine de convergence initial.
🧮 Le produit d’Euler et le lien aux nombres premiers
Le lien fondamental entre \( \zeta(s) \) et les nombres premiers est donné par la factorisation d’Euler :
\zeta(s) = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1 – p^{-s}}
\]
Cette égalité relie une somme infinie sur les entiers à un produit infini sur les nombres premiers.
Comprendre \( \zeta(s) \), c’est donc comprendre la répartition des nombres premiers.
🔍 Les zéros de ζ et la bande critique
La fonction zêta s’annule en deux familles de points :
- zéros triviaux : \( s = -2, -4, -6, \ldots \)
- zéros non triviaux, tous situés dans la bande critique
\( 0 < \Re(s) < 1 \)
Riemann conjecture que tous les zéros non triviaux sont alignés sur la droite critique :
\Re(s) = \frac{1}{2}
\]
🧠 L’hypothèse de Riemann
Tous les zéros non triviaux de \( \zeta(s) \) ont une partie réelle \( \frac{1}{2} \).
Si elle est vraie, l’hypothèse de Riemann fournit des bornes extrêmement précises sur les fluctuations de la
fonction de comptage des nombres premiers \( \pi(x) \), affinant la loi asymptotique
\( \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} \).
⚙️ De ζ(s) à π(x) : vibrations et répartition
Riemann relie \( \zeta(s) \) à \( \pi(x) \) via des formules intégrales et explicites :
les zéros non triviaux de \( \zeta(s) \) codent les oscillations fines de
la répartition des nombres premiers. Intuitivement, chaque zéro “ajoute une vibration” qui corrige l’approximation
globale donnée par la tendance \( x / \ln x \).
📈 Visualisation (idées pour le site)
- Carte 2D/3D de \( |\zeta(s)| \) dans le plan complexe avec les zéros visibles sur la droite critique.
- Comparaison interactive de \( \pi(x) \), \( \mathrm{Li}(x) \) et \( x/\ln x \) pour différentes échelles de \( x \).
- Timeline des vérifications numériques de zéros sur la droite critique.
📚 Héritage et développements
Les travaux de Riemann inspirent Hadamard et de la Vallée-Poussin (preuve du théorème des nombres premiers, 1896),
puis Hardy, Littlewood, Montgomery, Dyson et de nombreux projets numériques modernes qui vérifient des
milliards de zéros sur la droite critique. L’hypothèse de Riemann est un problème du millénaire.